Question

19．如果一個n位十進制數$\overline{{a}_{1}{a}_{2…}{a}_{n}}$的數位上的數字滿足“小大小大…小大”的順序，即滿足：a₁＜a₂＞a₃＜a₄＞a₅＜a₆…，我們稱這種數為“波浪數”；從1，2，3，4，5組成的數字不重復的五位數中任取一個五位數$\overline{abcde}$，這個數為“波浪數”的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{15}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{15}$

Answer 1

分析 根據題意，分析可得在“波浪數”中，十位數字，千位數字中必有一個是5、另一數是3或4；據此分2種情況討論，分別求出每種情況下的“波浪數”的個數，由分類計數原理計算可得答案．

解答 解：根據題意，分析可得在“波浪數”中，十位數字，千位數字中必有一個是5、另一數是3或4；
另一數是4時，將5與4放在千位、十位上，有A₂²種情況，剩余的1、2、3放在其余三個數位上，有A₃³種情況，
則此時的“波浪數”有A₂²A₃³=12個；
另一數3時，4、5必須相鄰，有45132；45231；13254；23154四個“波浪數”．
則由1，2，3，4，5可構成數字不重復的五位“波浪數”個數為12+4=16；
可得：這個數為“波浪數”的概率是$\frac{16}{5×4×3×2×1}$=$\frac{2}{15}$．
故選：B．

點評 本題考查排列組合及簡單計數問題，解題的關鍵是理解“波浪數”的含義，進而轉化為排列、組合問題．