Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=3ⁿ-1，數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），記數列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）證明{a_n}為等比數列；
（2）求T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合,數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=3-1=2，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

•3n，由此能證明{a_n}為首項為2，公比為3的等比數列．
（2）由已知得

bn

3n

=

bn-1

3n-1

+

2

3

，從而{

bn

3n

}是首項為

1

3

，公差為

2

3

的等差數列，進而b_n=（2n-1）•3^n-1，由此利用錯位相減法能求出T_n=（n+1）•3ⁿ+1．

解答： （1）證明：∵數列{a_n}的前n項和S_n=3ⁿ-1，
∴n=1時，a₁=S₁=3-1=2，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

•3n，
當n=1時，上式成立，
∴an=

2

3

•3n=2•3n-1，n∈N^*，

an+1

an

=

2•3n

2•3n-1

=3，
∴{a_n}為首項為2，公比為3的等比數列．
（2）解：∵數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），
∴n≥2時，b_n=3b_n-1+2•3^n-1，
∴

bn

3n

=

bn-1

3n-1

+

2

3

，
又

b1

3

=

1

3

，∴{

bn

3n

}是首項為

1

3

，公差為

2

3

的等差數列，
∴

bn

3n

=

1

3

+(n-1)×

2

3

=

2

3

n-

1

3

，
∴b_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得-2T_n=1+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ
=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴T_n=（n+1）•3ⁿ+1．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．