Question

過點A（4，-2）任作一條直線l與拋物線y²=2x交于不同的兩點P，Q，問：拋物線y²=2x上是否存在點B，使∠PBQ總等于90°？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：假設拋物線y²=2x上存在點B，使∠PBQ總等于90°．設出直線方程聯立拋物線方程，消去x，得到y的方程，設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運用韋達定理和直線的斜率公式，結合兩直線垂直的條件，化簡整理，得到2m（y₀-2）+y₀²-4=0，再由恒等式知識即可求得B的坐標．

解答： 解：假設拋物線y²=2x上存在點B，使∠PBQ總等于90°．
設直線l：x-4=m（y+2），
與拋物線y²=2x聯立，消去x，得y²-2my-4（m+2）=0，
設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4（2+m），①
k_PB=

y1-y0

x1-x0

=

y1-y0

y12-y02 2

=

2

y1+y0

，
k_QB=

y2-y0

x2-x0

=

y2-y0

y22-y02 2

=

2

y2+y0

，
由于∠PBQ=90°，則PB⊥QB，
即有k_PB•k_QB=-1，
得y₁y₂+y₀（y₁+y₂）+y₀²=-4，
將①代入得，2m（y₀-2）+y₀²-4=0，
當y₀=2時，上式恒成立 此時x₀=2，
所以拋物線y²=2x上存在點B（2，2），使∠PBQ總等于90°．

點評：本題考查拋物線的方程和運用，考查直線方程和拋物線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和直線的斜率公式，考查兩直線垂直的條件，考查恒成立問題注意運用恒等式的性質，屬于中檔題．