Question

已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x²+5y²=5的左，右焦點，且三角形三內角A，B，C滿足sinB-sinA=

1

2

sinC，
（1）求|AB|；
（2）求頂點C的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,正弦定理

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓x²+5y²=5化為

x2

5

+y2=1．可得a²=5，b=1，c²=4．即可得到A（-2，0），B（2，0），|AB|．
（2）由sinB-sinA=

1

2

sinC，由正弦定理可得：|CA|-|CB|=

1

2

|AB|=2＜|AB|．即可得到頂點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支．

解答： 解：（1）橢圓x²+5y²=5化為

x2

5

+y2=1．
可得a²=5，b=1，c²=4．
A（-2，0），B（2，0），|AB|=4．
（2）∵sinB-sinA=

1

2

sinC，
由正弦定理可得：|CA|-|CB|=

1

2

|AB|=2＜|AB|．
∴頂點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支．
其方程為x2-

y2

3

=1（x≥1）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．