Question

已知函數y=e^x圖象記為曲線C₁，O為坐標系原點
Ⅰ）過O作曲線C₁的切線l，求切線l的方程；
Ⅱ）函數y=lnx圖象記為曲線C₂，點P在曲線C₁上，點Q在曲線C₂上，設∠POQ=θ，求cosθ的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：Ⅰ）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可求切線l的方程；
Ⅱ）分別求出兩個函數的切線，利用切線之間的夾角最小即可得到結論．

解答： 解：Ⅰ）設切點坐標為（x₀，ex0），
則函數y=e^x的導數為f′（x）=e^x，
則切線斜率k=ex0，
則圓的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
∵直線過原點，
∴ex0（0-x₀）=-ex0，
即x₀=1，則切點為（1，e），
則切線方程為y=ex；
Ⅱ）函數的y=lnx的導數g′（x）=

1

x

，設切點為（a，lna），
則切線斜率k=

1

a

，則切線方程為y-lna=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
當直線過原點時，∴-lna=-1，
解得a=e，即切點為（e，1），切線方程為y-1=

1

e

（x-e）=

1

e

x-1，
即切線方程為y=

1

e

x，
∵y=y=e^x和y=lnx互為反函數，圖象關于y=x對稱，
當P為（1，e），Q（e，1）時，
∠POQ=θ最小，此時cosθ最大，
則切線OQ的傾斜角α．θ=90°-2α，
sinα=

1

1+e2

．cosα=

e

1+e2

則cosθ=cos（90°-2α）=sin2α=2sinα=2×

1

1+e2

×

e

1+e2

=

2e

1+e2

，
故cosθ的最大值為

2e

1+e2

．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，利用導數求出切線斜率是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．