Question

3．已知函數f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．記函數f（x）的最大值為M，最小值為m，若M+m=20，則實數a的值為10．

Answer 1

分析 函數f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．化為：F（x）=f（x）-a=sin x+$\frac{1}{x}$，可得函數F（x）為奇函數．利用奇函數的性質即可得出．

解答 解：函數f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．
化為：F（x）=f（x）-a=sin x+$\frac{1}{x}$，
∵F（-x）+F（x）=sin （-x）-$\frac{1}{x}$+sin x+$\frac{1}{x}$=0，
∴函數F（x）為奇函數．
∴M-a+m-a=0，化為2a=M+m=20，
解得a=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了函數的奇偶性單調性、方程的解法、構造法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．