Question

2．求曲線f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2處的切線與x軸交點A的坐標．

Answer 1

分析 求出函數的導數，可得曲線在x=2處切線的斜率，求得切點，運用點斜式方程，再由y=0，可得交點A．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$的導數為f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，
可得曲線f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2處的切線斜率為f′（2）=$\frac{-3}{{e}^{4}}$，
切點為（2，$\frac{2}{{e}^{4}}$），
則曲線f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2處的切線方程為y-$\frac{2}{{e}^{4}}$=$\frac{-3}{{e}^{4}}$（x-2），
可令y=0，則x=$\frac{8}{3}$．
即有切線與x軸交點A的坐標為（$\frac{8}{3}$，0）．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程，注意運用導數的運算法則和直線的點斜式方程，考查運算能力，屬于基礎題．