Question

12．已知一家電子公司生產某種電子產品的月固定成本為20萬元，每生產1千件需另投入5.4萬元，設該公司一月內生產該電子產品x千件能全部銷售完，每千件的銷售收入為g（x）萬元，且g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{13.5-\frac{1}{30}{x}^{2}（0＜x≤10）}\\{\frac{168}{x}-\frac{2000}{3{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$
（Ⅰ）寫出月利潤y（萬元）關于月產量x（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）月產量為多少千件時，該公司在這一產品的生產中所獲利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據年利潤=年銷售收入-年總成本，可得年利潤y（萬元）關于年產量x（萬件）的函數關系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據分段函數的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結果．

解答 解：（Ⅰ）當0＜x≤10時，y=x（13.5-$\frac{1}{30}$x²）-20-5.4x=8.1x-$\frac{1}{30}$x³-20，
當x＞10時，y=（$\frac{168}{x}$--$\frac{2000}{3{x}^{2}}$）x-20-5.4x=148-2（$\frac{1000}{3x}$+2.7x），
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{8.1x-\frac{1}{30}{x}^{3}-20，0＜x≤10}\\{148-2（\frac{1000}{3x}+2.7x），x＞10}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）①當0＜x≤10時，y′=8.1-$\frac{1}{10}$x²，令y′=0可得x=9，
x∈（0，9）時，y′＞0；x∈（9，10]時，y′＜0，
∴x=9時，y_max=28.6萬元；
②當x＞10時，y=148-2（$\frac{1000}{3x}$+2.7x）≤148-120=22（萬元）
（當且僅當x=$\frac{100}{9}$時取等號）…（10分）
綜合①②知：當x=9時，y取最大值…（11分）
故當年產量為9萬件時，服裝廠在這一高科技電子產品的生產中獲年利潤最大…（12分）

點評 本題考查的知識點是分段函數及函數的最值，分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者．