Question

17．已知圓C：x²+y²-4x-2y+1=0上存在兩個不同的點關于直線x+ay-1=0對稱，過點A（-4，a）作圓C的切線，切點為B，則|AB|=6．

Answer 1

分析 求出圓的標準方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay-1=0經過圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點A的坐標，再利用直線和圓相切的性質求得|AB|的值．

解答 解：∵圓C：x²+y²-4x-2y+1=0，即（x-2）²+（y-1）² =4，
表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓．
由題意可得，直線l：x+ay-1=0經過圓C的圓心（2，1），
故有2+a-1=0，∴a=-1，點A（-4，-1）．
∵AC=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CB=R=2，
∴切線的長|AB|=$\sqrt{40-4}$=6．
故答案為6．

點評 本題主要考查圓的切線長的求法，解題時要注意圓的標準方程，直線和圓相切的性質的合理運用，屬于基礎題．