Question

12．如圖1，在△ABC中，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=1$，點D是BC的中點．
（ I）求證：$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（ II）直線l過點D且垂直于BC，E為l上任意一點，求證：$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$為常數，并求該常數；
（ III）如圖2，若$cos=\frac{3}{4}$，F為線段AD上的任意一點，求$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}）$的范圍．

Answer 1

分析 （ I）延長AD到A₁使得AD=DA₁，連接CA₁，A₁B，證明四邊形ACA₁B是平行四邊形，即可證明：$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（ II）證明$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，即可得出：$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$為常數，并求該常數；
（III）確定$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x），利用基本不等式，求$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}）$的范圍．

解答 （I）證明：延長AD到A₁使得AD=DA₁，連接CA₁，A₁B，
∵D是BC的中點，
∴四邊形ACA₁B是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$；
（II）證明：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，
∵DE⊥BC，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{3}{2}$
（III）解：△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$，

∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+2×2×1×\frac{3}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，
同理$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=2$\overrightarrow{FD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=$\overrightarrow{AF}$•2$\overrightarrow{FD}$=|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FD}$|，
設|$\overrightarrow{AF}$|=x，則|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0$≤x≤\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x）≤2$（\frac{x+\sqrt{2}-x}{2}）^{2}$=1，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）∈（0，1]．

點評 本題考查平面向量知識的運用，考查向量數量積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．