Question

7．已知圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （1，2）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先求出切線的斜率，再利用圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有兩個交點，可得$\frac{b}{a}$＞$\sqrt{3}$，即可求出雙曲線C的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，圓心到直線的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴k=±$\sqrt{3}$，
∵圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有兩個交點，
∴$\frac{b}{a}$＞$\sqrt{3}$，
∴1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞4，
∴e＞2，
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．