Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x+c+1有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且有一個(gè)零點(diǎn)恰為f（x）的極小值點(diǎn)，則c的值為（　　）

• A． 0
• B． $-\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{5}{3}$或$-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x+c+1有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則滿足極大值等于0或極小值等于0．根據(jù)有一個(gè)零點(diǎn)恰為f（x）的極小值點(diǎn)，得f（x）的極小值為0，解方程即可求得c值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+c+1，∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1，∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
即當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值．
要使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+c-1有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
∵有一個(gè)零點(diǎn)恰為f（x）的極小值點(diǎn)，
∴必有f（1）=$\frac{1}{3}$-1+c+1=c+$\frac{1}{3}$=0，解得c=-$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．