Question

5．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1（x＜1）}\\{\frac{lnx}{x}（x≥1）}\end{array}}\right.$關于x的方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0，有5不同的實數解，則m的取值范圍是（　　）

• A． $（-1，\frac{1}{e}）$
• B． （0，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{1}{e}]$

Answer 1

分析 利用導數研究函數y=$\frac{lnx}{x}$的單調性并求得最值，求解方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0得到f（x）=m或f（x）=$-\frac{1}{2}$．畫出函數圖象，數形結合得答案．

解答 解：設y=$\frac{lnx}{x}$，則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由y′=0，解得x=e，
當x∈（0，e）時，y′＞0，函數為增函數，當x∈（e，+∞）時，y′＜0，函數為減函數．
∴當x=e時，函數取得極大值也是最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$．
方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0化為[f（x）-m][2f（x）+1]=0．
解得f（x）=m或f（x）=$-\frac{1}{2}$．
如圖畫出函數圖象：
可得m的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故選：C．

點評 本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查利用導數求函數的最值，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．