Question

17．已知一元二次方程：x²+2ax-b²+4=0，
（1）若a是從{-1，0，1}中任取的一個數字，b是從{-3，-2，-1，0，1}中任取的一個數字，求該方程有根的概率．
（2）若a是從區間[-2，2]中任取的一個數字，b從是區間[-2，2]中任取的一個數字，求該方程有實根的概率．

Answer 1

分析 根據題意，由一元二次方程的性質，可得x²+ax+b²=0有實根的充要條件為a²+b²≥4；
（1）由題意分析可得，這是古典概型，由a、b分別從{-1，0，1}，{-3，-2，-1，0，1}中任取的數字，易得一共可以得到15個不同方程，得滿足a²+b²≥4的全部情況數目，結合古典概型公式，計算可得答案；
（2）由題意分析可得，這是幾何概型，將a，b表示為平面區域，進而可得其中滿足a²+b²≥4的區域的面積，由幾何概型公式，計算可得答案

解答 解：根據題意，方程x²+2ax-b²+4=0，有實根則△≥0即a²+b²≥4；
（1）由題意，a，b是分別從{-1，0，1}，{-3，-2，-1，0，1}中任取的數字；
則a有3種取法，b有5種取法，共有5不同的情況，可以得到15個不同方程，
滿足a²+b²≥4的有（-1，-3）（0，-3）（1，-3）（-1，-2）（0，-2）（1，-2）共有6種情況滿足方程有實根，
∴p=$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$；
（2）a是從區間[-2，2]中任取的一個數字，b從是區間[-2，2]中任取的一個數字，
由題意得：a，b滿足的區域為邊長是4 的正方形，面積為16，
使得方程有實根的，a，b滿足a²+b²≥4，區域面積為4π，由幾何概型的公式得到方程有實根的概率為$\frac{16-4π}{16}=1-\frac{π}{4}$．

點評 本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，注意兩者的不同