Question

7．如圖1，在∠A=45°的平行四邊形ABCD中，DO垂直平分AB，且AB=2，現將△ADO沿DO折起（如圖2），使AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：直線AO⊥平面OBCD；
（Ⅱ）求平面AOD與平面ABC所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖1折起成圖2后，推導出CD⊥OD，AO⊥OD，AO⊥OC，由此能證明AO⊥平面OBCD．
（Ⅱ）以O為坐標原點，分別為OD，OB，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出平面AOD與平面ABC所成的角（銳角）的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）由題設：AO=1，OA=OB=OD=1，CD=2，
由圖1折起成圖2后，$AC=\sqrt{6}$．
且CD⊥OD，AO⊥OD，①…（1分）
在△AOC中，OA²+OC²=6=AC²，
∴AO⊥OC，②…（3分）
又OC∩OD=O，③…（4分）
由①②③得，直線AO⊥平面OBCD．…（6分）
解：（Ⅱ）以O為坐標原點，分別為OD，OB，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，2，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，1，-1），$\overline{AC}=（{1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;-1}）$
設平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x\;\;，\;\;y\;\;，\;\;z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x+2y-z=0\end{array}\right.$，
取y=z=1，則x=-1，即$\overrightarrow{n_1}=（{-1\;\;，\;\;1\;\;，\;\;1}）$，…（8分）
又OB⊥平面AOD，
所以，平面AOD的一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{OB}=（{0\;\;，\;\;1\;\;，\;\;0}）$，…（9分）
設平面AOD與平面ABC所成的角（銳角）為θ，
則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}×1}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（11分）
所以，平面AOD與平面ABC所成的角（銳角）的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．