Question

19．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（I）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數；
（II）判斷函數的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義進行證明即可．
（2）根據函數奇偶性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）證明：設x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+x₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數f（x）在（0，1）上的單調遞減．
（2）函數的定義域為{x|x≠0}，
則f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
則函數f（x）是奇函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數單調性和奇偶性的定義是解決本題的關鍵．