Question

10．已知直線x-y+1=0與圓C：x²+y²-4x-2y+m=0交于A，B兩點；
（1）求線段AB的垂直平分線的方程；
（2）若|AB|=2$\sqrt{2}$，求m的值；
（3）在（2）的條件下，求過點P（4，4）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，線段AB的垂直平分線經過圓的圓心（2，1），斜率為-1，可得線段AB的垂直平分線的方程．
（2）利用|AB|=2$\sqrt{2}$，求出圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而可求m的值．
（3）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，線段AB的垂直平分線經過圓的圓心（2，1），斜率為-1，
∴方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
（2）圓x²+y²-4x-2y+m=0可化為（x-2）²+（y-1）²=-m+5，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$，∴圓心到直線的距離為$\sqrt{3-m}$，
∵圓心到直線的距離為d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{3-m}=\sqrt{2}$，∴m=1
（3）由題意，知點P（4，4）不在圓上．
①當所求切線的斜率存在時，設切線方程為y-4=k（x-4），即kx-y-4k+4=0．由圓心到切線的距離等于半徑，得$\frac{|2k-2+4-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{5}{12}$，所以所求切線的方程為5x-12y+28=0
②當所求切線的斜率不存在時，切線方程為x=4
綜上，所求切線的方程為x=4或5x-12y+28=0．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應用，以及弦長公式的應用，屬于中檔題．