Question

12．在四棱錐P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（4，-2，3），$\overrightarrow{AD}$=（-4，1，0），$\overrightarrow{AP}$（-6，2，-8），則該四棱錐的高為2．

Answer 1

分析 求出平面ABCD的法向量，然后利用點到平面的距離公式求解即可．

解答 解：四棱錐P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（4，-2，3），$\overrightarrow{AD}$=（-4，1，0），$\overrightarrow{AP}$（-6，2，-8），
設平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4x-2y+3z=0}\\{-4x+y=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=3，則y=12，z=4，
可得$\overrightarrow{n}$=（3，12，4）；
則$\overrightarrow{AP}$=（-6，2，-8）在平面ABCD上的射影就是這個四棱錐的高h，
所以h=|$\overrightarrow{AP}$||cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|-18+24-32|}{13}$=2；
所以該四棱錐的高為2．
故答案為：2．

點評 本題考查空間點到平面的距離公式的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力．