Question

13．已知P是△ABC所在平面內一點，D為AB的中點，若2$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PC}$=（λ+1）$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$，且△PBA與△PBC的面積相等，則實數λ的值為-1．

Answer 1

分析 通過D為AB的中點，得到2$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，結合已知2$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PC}$=（λ+1）$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=（λ+1）$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$，整理得$\overrightarrow{PC}=λ\overrightarrow{PA}$，利用△PBA與△PBC的面積相等，得到P為AC的中點，求得λ．

解答 解：∵D為AB的中點，
∴2$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，
又∵2$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PC}$=（λ+1）$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=（λ+1）$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{PC}=λ\overrightarrow{PA}$，
又∵△PBA與△PBC的面積相等，
∴P為AC的中點，所以λ=-1；
故答案為：-1

點評 本題考查平面向量的基本定理以及平面向量的運算，注意解題方法的積累．