Question

20．在直角坐標(biāo)系中xOy，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=sinθ-cosθ（θ是參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C₂所表示的曲線；
（Ⅱ）若M為曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線C₁的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=sinθ-cosθ（θ是參數(shù)）．可得ρ²=ρ（sinθ-cosθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：通過配方可得曲線C₂所表示的曲線為圓．
（Ⅱ）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．消去參數(shù)t化為普通方程：2x-y-1=0．求出圓心C₂到直線C₁的距離d．可得點(diǎn)M到直線C₁的距離的最大值為d+r，最小值為d-r．

解答 解：（I）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=sinθ-cosθ（θ是參數(shù)）．可得ρ²=ρ（sinθ-cosθ），化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=y-x．
配方為：$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．可得曲線C₂所表示的曲線為圓：圓心為C₂$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：2x-y-1=0．
圓心C₂到直線C₁的距離d=$\frac{|-\frac{1}{2}×2-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴點(diǎn)M到直線C₁的距離的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．