Question

7．已知數列{a_n}的滿足a₁=3，其前n項和S_n=2a_n+n（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n+n（n∈N^*），n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1-1，變形為：a_n-1=2（a_n-1-1），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）n≥5時，a_n=2ⁿ+1＞2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…＞n（n+1）．$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+n（n∈N^*），∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），
化為：a_n=2a_n-1-1，變形為：a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數列{a_n-1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．
（2）證明：n≥5時，a_n=2ⁿ+1＞2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…＞n（n+1）．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n≤$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{17}$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）$…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{77}{153}$-$\frac{1}{n}$＜1．
n=1，2，3，4時成立．
綜上可得：T_n＜1．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、數列遞推關系、等比數列的通項公式、二項式定理的應用、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．