Question

17．已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=-x²+2x．
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象；
（3）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的對稱性，即可求函數f（x）在R上的解析式；
（2）由（1）畫出函數f（x）的圖象；
（3）根據函數奇偶性和單調性的關系，利用數形結合即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）設x＜0，-x＞0，則f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0時f（x）=x²+2x，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）

（3）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，
結合f（x）的圖象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，
所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是（1，3]．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用二次函數圖象和性質是解決本題的關鍵．