Question

12．命題p：若對任意的x∈[1，2]，不等式x²-ax+1＞0恒成立；
命題q：函數f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$在（1，+∞）上單調遞減．若命題p∧q為假．
求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p和命題q為真時，實數a的取值范圍，進而可得命題p∧q為假時，實數a的取值范圍．

解答 解：$p：a＜x+\frac{1}{x}$
∵${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2∴a＜2$…（3分）
$q：f（x）=\frac{x+a}{x-1}=1+\frac{a+1}{x-1}$
∵f（x）在（1，+∞）上單調遞減
∴a+1＞0
即：∴a＞-1…（6分）
當p∧q為真命題時，
$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\ a＞-1\end{array}\right.$
∴-1＜a＜2…（10分）
∴當p∧q為假命題時a≥2或a≤-1…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，恒成立問題，反比例型函數的單調性，難度中檔．