Question

17．函數f（x）=lnx在點P（x₀，f（x₀））處的切線l與函數g（x）=e^x的圖象也相切，則滿足條件的切點P的個數有2個．

Answer 1

分析 先求直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），進而可得lnx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，即可得出結論．

解答 解：∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴x=x₀，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線l的方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+lnx₀-1，①
設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），
∵g'（x）=e^x，∴${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，∴x₁=-lnx₀．
∴直線l也為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x+lnx₀）
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$，②
由①②得lnx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，
如圖所示，方程有兩解，
故答案為2．

點評 本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查曲線的切線，同時考查零點存在性定理，綜合性比較強．