Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（2，n）．
（1）若m=3，n=-1，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求實數λ的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的坐標運算和向量的數量積即可求出，
（2）根據向量的模求出（m+n）²=16，再根據基本不等式和向量的數量積即可求出

解答 解：（1）m=3，n=-1時，$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1+2λ，3-λ），
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=1+2λ+3（3-λ）=0，
解得λ=10，
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（2，n），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，m+n），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2+mn，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5，
∴9+（m+n）²=25，
∴（m+n）²=16，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2+mn≤2+$\frac{1}{4}$（m+n）²=6，
當且僅當m=n=2或m=n=-2時取等號，
故$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值6．

點評 本題考查了向量的坐標運算，向量的數量積，向量的模和基本不等式，屬于基礎題