Question

15．已知$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，$cos（β+\frac{π}{6}）=-\frac{2}{3}$，α是銳角，β是鈍角，則sin（α-β）=（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據同角的三角形函數的關系以及誘導公式和兩角差的余弦公式計算即可

解答 解：$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，$cos（β+\frac{π}{6}）=-\frac{2}{3}$，
∵α是銳角，β是鈍角，
∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，$\frac{2}{3}$π＜β+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7}{6}$π，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sin（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
sin（α-β）=cos[（α-$\frac{π}{3}$）-（β-$\frac{π}{6}$）]=cos（α-$\frac{π}{3}$）cos（β-$\frac{π}{6}$）-sin（α-$\frac{π}{3}$）sin（β-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{2}{3}$）+$\frac{\sqrt{5}}{3}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）=-1
故選：B

點評 本題考查同角的三角形函數的關系以及誘導公式和兩角差的余弦公式，屬于基礎題