Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，則方程f（x）=ax恰有兩個不同的實數根時，實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． （$\frac{1}{4}$，e）

Answer 1

分析 通過方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，轉化為y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答 解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
設切點為（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切線過原點，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直線l₁的斜率為$\frac{1}{e}$，
又∵直線l₂與y=$\frac{1}{4}$x+1平行，
∴直線l₂的斜率為$\frac{1}{4}$，
∴實數a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）．
故選：B．

點評 本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，考查函數與方程的關系，是易錯題．