Question

20．某高中學校為了解學生體質情況，從高一和高二兩個年級分別隨機抽取了40名男同學進行“引體向上”項目測試．樣本的測試成績均在0至30個之間，按照[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]的分組分別作出頻率分布直方圖．記樣本中高一年級的“引體向上”成績的方差為s₁²，高二年級的“引體向上”成績的方差為s₂²．

（Ⅰ）已知該學校高二年級男同學有500人，估計該學校高二年級男同學引體向上成績不少于10個的人數；
（Ⅱ）從樣本中高一年級的成績不小于20個男同學中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[25，30]中的概率．
（Ⅲ）比較s₁²與s₂²的大小（只需寫出結果）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出樣本中高二年級男同學引體向上成績不少于10個的頻率，由此能估計該學校高二年級男同學引體向上成績不少于10個的人數．
（Ⅱ）記“從樣本中高一年級的成績不小于20個的同學中隨機抽取2人，至少有1人成績在[25，30]中”為事件M，樣本中高一年級的成績在[20，25）的人數為4人，記這4名同學為A₁，A₂，A₂，A₄，樣本中高一年級的成績在[25，30]的人數為2人，記這兩名同學為B₁，B₂，由此利用列舉法能求出至少有1人成績在[25，30]中的概率．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖能比較${{S}_{1}}^{2}$，${{S}_{2}}^{2}$的大小．

解答 解：（Ⅰ）因為樣本中高二年級男同學引體向上成績不少于10個的頻率為（0.08+0.04+0.01）×5=0.65，（2分）
所以估計該學校高二年級男同學引體向上成績不少于10個的人數為：
500×0.65=325人．（4分）
（Ⅱ）記“從樣本中高一年級的成績不小于20個的同學中隨機抽取2人，
至少有1人成績在[25，30]中”為事件M，（5分）
樣本中高一年級的成績在[20，25）的人數為40×0.02×5=4人，
記這4名同學為A₁，A₂，A₂，A₄，
樣本中高一年級的成績在[25，30]的人數為40×0.01×5=2人，
記這兩名同學為B₁，B₂，（6分）
則從樣本中高一年級的成績不小于20個的同學中，隨機抽取2人，所有可能的結果有15種，分別為：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），（8分）
事件M包含的結果有9種，分別是：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），
所以至少有1人成績在[25，30]中的概率P（M）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．（11分）
（Ⅲ）${{S}_{1}}^{2}$＞${{S}_{2}}^{2}$．（13分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，涉及到頻率分布直方圖的性質、列舉法，方差等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力，考查數形結合思想、集合思想，是基礎題．