Question

11．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線相互垂直，那么雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，結合直線垂直的性質可得（$\frac{a}$）×（-$\frac{a}$）=-1，解可得a=b，由雙曲線的幾何性質可得c=$\sqrt{2}$a，進而由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又由該雙曲線的兩條漸近線相互垂直，
則有（$\frac{a}$）×（-$\frac{a}$）=-1，
解可得a=b，
則有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是依據題意，求出漸近線的方程．