Question

18．某班級50名學生的考試分數x分布在區間[50，100）內，設考試分數x的分布頻率是f（x），且$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{10}-0.4，10n≤x＜10（{n+1}），n=5，6，7\\-\frac{n}{5}+b，10n≤x＜10（{n+1}），n=8，9.\end{array}\right.$
（1）求b的值；
（2）并估計班級的考試平均分數；
（3）考試成績采用“5分制”，規定：考試分數在[50，60）內的成績記為1分，考試分數在[60，70）內的成績記為2分，考試分數在[70，80）內的成績記為3分，考試分數在[80，90）內的成績記為4分，考試分數在[90，100）內的成績記為5分，在50名學生中用分層抽樣的方法，從成績為1分，2分，3分的學生中隨機抽取6人，再從這6人中抽出2人，記這2人的成績之和為4的概率（將頻率視為概率）．

Answer 1

分析 （1）考試分數x的分布頻率是f（x），列出方程，能求出b的值．
（2）利用考試分數x的分布頻率是f（x），能求出班級的考試平均分數．
（3）考試成績記為1分，2分，3分，4分，5分的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，考試成績記為1分、2分、3分的分別可以抽出1人，（記為A），2人（記為B，C），3人（記為D、E、F），再從這面人中抽出2人，利用列舉法能求出這2人的成績之和為4分的概率．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{10}-0.4，10n≤x＜10（{n+1}），n=5，6，7\\-\frac{n}{5}+b，10n≤x＜10（{n+1}），n=8，9.\end{array}\right.$
∴$（\frac{5}{10}-0.4）+（\frac{6}{10}-0.4）+（\frac{7}{10}-0.4）$+（-$\frac{8}{5}+b$）+（-$\frac{9}{5}$+b）=1，
解得b=1.9．
（2）班級的考試平均分數為：
（$\frac{5}{10}-0.4$）×55+（$\frac{6}{10}-0.4$）×65+（$\frac{7}{10}-0.4$）×75+（-$\frac{8}{5}+1.9$）×85+（-$\frac{9}{5}+1.9$）×95=76分．
（3）由題意知：
考試成績記為1分，2分，3分，4分，5分的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，
考試成績記為1分、2分、3分的分別可以抽出1人，（記為A），2人（記為B，C），3人（記為D、E、F），
再從這面人中抽出2人，基本事件為：
AB，AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、EF，共15個，
成績之和為4的有：AD、AE、AF、BC，共4個，
∴這2人的成績之和為4分的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{4}{15}$．

點評 本題考查實數值、平均數、概率的求法及應用，涉及到分布頻率、概率、平均值、概率等基礎知識，考查函數與方程思想、集合思想，是中檔題．