Question

4．從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應(yīng)的概率值，
寫出它的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值．

解答 解：（Ⅰ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3；
則P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（X=2）=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$；
所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{4}$+1×$\frac{11}{24}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{24}$=$\frac{13}{12}$；
（Ⅱ）設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，
則所求事件的概率為
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{11}{24}$+$\frac{11}{24}$×$\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{48}$；
所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為$\frac{11}{48}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．