Question

求下列曲線的標準方程：
（1）離心率e=

3

2

且橢圓經過（4，2

3

）
（2）漸近線方程是y=±

2

3

x，經過點M（

9

2

，-1）．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出橢圓方程，利用已知條件求出橢圓中的幾何量，即可求出方程．
（2）利用雙曲線的漸近線方程，設出雙曲線方程，然后求出雙曲線方程即可．

解答： 解：（1）離心率e=

3

2

且橢圓經過(4，2

3

)，
由e=

3

2

可得b=

1

2

a，因此設橢圓方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1或者(2)

x2

b2

+

y2

4b2

=1；
將點(4，2

3

)的坐標代入可得（1）b²=16，（2）b²=19，所求方程是：

x2

64

+

y2

16

=1或者

x2

19

+

y2

76

=1．
（2）漸近線方程是y=±

2

3

x，經過點M(

9

2

，-1)．
設所求雙曲線方程是

x2

9

-

y2

4

=λ，將M(

9

2

，-1)代入可得λ=2，
所以，所求雙曲線方程是：

x2

18

-

y2

8

=1．

點評：本題考查橢圓方程以及雙曲線方程的求法，基本知識的考查．