Question

已知定義在x∈[-

π

6

，

π

2

]上的函數f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若方程f（x）=a只有一解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點,正弦函數的單調性

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ） 化簡f（x）=sin2x，其遞增區間滿足-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，再由x∈[-

π

6

，

π

2

]解得；
（Ⅱ）在同一坐標系中作出y=sinX=sin2x與y=a的圖象，從而解得．

解答： 解：（Ⅰ） 化簡得f（x）=sin2x，
其遞增區間滿足-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
再由x∈[-

π

6

，

π

2

]得，
-

π

3

≤2x≤

π

2

⇒-

π

6

≤x≤

π

4

；        
 故所求遞增區間為[-

π

6

， 

π

4

]；
（Ⅱ）在同一坐標系中作出y=sinX=sin2x與y=a的圖象，
方程只有一解等價于兩函數圖象只能有一個交點，
所以a的取值范圍是：a∈[-

3

2

，  0)∪{ 1 }．

點評：本題考查了函數的圖象與性質應用，屬于基礎題．