Question

4．若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是兩個(gè)不共線的非零向量，$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$起點(diǎn)相同，且$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上．則t的值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知：$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow{b}$，整理可知：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，則$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，即可求得t的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上，
$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow{b}$，
整理得：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是兩個(gè)不共線的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}}\\{t=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查平面向量的共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．