Question

12．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，滿足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{sin{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，則稱△A₁B₁C₁是△ABC的一個“友好”三角形．在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（請寫出符合要求的條件的序號）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．

Answer 1

分析 由“友好”三角形的定義，根據已知三角形的度數，根據特殊角的三角形函數值，即可求得答案．

解答 解：①項，A=90°，cosA=0=sinA₁，A₁=180°或0，不滿足三角形內角和為180°的條件，故①項不符合條件；
②項，cosC=cos45°=sinC₁，則C₁=45°或135°；cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=sinB₁，則B₁=30°或150°，
又三角形內角和為180°，
∴△A₁B₁C₁可能的組合是：$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}=105°}\\{{B}_{1}=30°}\\{{C}_{1}=45°}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}=15°}\\{{B}_{1}=30°}\\{{C}_{1}=135°}\end{array}\right.$，
第一種情況A₁=105°時，cosA=cos75°≠sin105°，這種情況不符合題意；
當第二種情況A₁=15°，滿足滿足cosA=cos75°=sin15°，故②項符合條件；
③項，cosC=cos30°=sinC₁，則C₁=60°或120°，又A=B=75°，
∴A₁=B₁，
當C₁=60時，A₁=B₁=C₁=60°，
$\frac{cos75°}{sin60°}$≠$\frac{cos30°}{sin60°}$，即$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$≠$\frac{cosC}{cos{C}_{1}}$，不符合題意；
當C₁=120°時，A₁=B₁=30°，則$\frac{cos75°}{sin30°}$≠$\frac{cos30°}{sin120°}$，即$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$≠$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$，故③項不符合條件；
由A+B+C≠180°，不能構成三角形，故④項不符合條件；
故答案為：②

點評 本題考查新定義，考查特殊角的三角函數值，考查計算能力，屬于中檔題．