Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$垂直，求θ．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量平行的性質，兩個向量的數量積的定義，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值．
（2）利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積的定義，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，則θ=0°或180°，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos θ=±$\sqrt{2}$．
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$垂直，則（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，即|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-$\sqrt{2}$cos θ=0，∴cos θ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．

點評 本題主要考查兩個向量平行、垂直的性質，兩個向量的數量積的定義，屬于基礎題．