Question

7．在{a_n}中，${a_1}=2，\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}=\frac{n}{{2（{n+1}）}}{a_{n+1}}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}$，數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：${S_n}＜\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）在{a_n}中，${a_1}=2，\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}=\frac{n}{{2（{n+1}）}}{a_{n+1}}$．n≥2時，$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{n-1}{2n}$a_n，相減可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n}{2（n+1）}{a}_{n+1}$-$\frac{n-1}{2n}$a_n，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}$=$\frac{1}{2（n+1）^{2}-2}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 （1）解：在{a_n}中，${a_1}=2，\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}=\frac{n}{{2（{n+1}）}}{a_{n+1}}$．
n≥2時，$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{n-1}{2n}$a_n，
相減可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n}{2（n+1）}{a}_{n+1}$-$\frac{n-1}{2n}$a_n，
化為：$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，
又$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{{1}^{2}}$=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=2，即a_n=2n²．
（2）證明：${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}$=$\frac{1}{2（n+1）^{2}-2}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數列{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{8}$．
∴${S_n}＜\frac{3}{8}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．