Question

13．設(shè)函數(shù)y=f″（x）是y=f′（x）的導數(shù)．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有對稱中心（x₀，f（x₀）），其中x₀滿足f″（x₀）=0．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，則f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式可以求出f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數(shù)解析式求拐點的縱坐標，即可得函數(shù)f（x）的對稱中心坐標，由對稱中心的坐標分析可得f（x）+f（1-x）=2，由此計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
有f′（x）=x²-x+3，f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0，即x=$\frac{1}{2}$，
又由f（$\frac{1}{2}$）=1，即函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1），
則有f（x）+f（1-x）=2，
則f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=[f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）]+[f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）]+…+[f（$\frac{1008}{2017}$）+f（$\frac{1009}{2017}$）]=2×1008=2016；
故答案為：2016．

點評 本題考查導數(shù)的計算，關(guān)鍵是理解三次函數(shù)的對稱中心的求法以及其性質(zhì)．