Question

1．已知曲線C的極坐標方程是ρ²=4ρcosθ+6ρsinθ-12，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）．
（I）寫出直線l的一般方程與曲線C的直角坐標方程，并判斷它們的位置關系；
（II）將曲線C向左平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，得到曲線D，設曲線D經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$得到曲線E，設曲線E上任一點為M（x，y），求$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數方程消去數t，能求出直線l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，能求出曲線C的直角坐標方程，由圓心（2，3）到直線l的距離d=r，得到直線l和曲線C相切．
（II）曲線D為x²+y²=1．曲線D經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，得到曲線E的方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，從而點M的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），由此能求出$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范圍．

解答 解：（I）∵直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）．
∴消去數t，得直線l的一般方程為$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}-1=0$，
∵曲線C的極坐標方程是ρ²=4ρcosθ+6ρsinθ-12，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
得曲線C的直角坐標方程為（x-2）²+（y-3）²=1．
∵圓心（2，3）到直線l的距離d=$\frac{{|{2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}-1}|}}{{\sqrt{{{（{\sqrt{3}}）}^2}+1}}}=1$=r，
∴直線l和曲線C相切．
（II）曲線D為x²+y²=1．
曲線D經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，得到曲線E的方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，
則點M的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），
∴$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\sqrt{3}cosθ+sinθ=2sin（{θ+\frac{π}{3}}）$，
∴$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范圍為[-2，2]．

點評 本題考查直線的一般方程和曲線的直角坐標方程的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，考查代數式的取值范圍的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．