Question

4．直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0與x，y軸的交點分別為A，B，直線l與圓O：x²+y²=1的交點為C，D．給出下列命題：p：?a＞0，S_△AOB=$\frac{1}{2}$，q：?a＞0，|AB|＜|CD|．則下面命題正確的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧￢q
• C． p∧￢q
• D． ￢p∧q

Answer 1

分析 利用已知條件求出三角形的面積，判斷p的真假；求出|AB|與|CD|的差，判斷大小，推出真假，然后判斷選項即可．

解答 解：直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0與x，y軸的交點分別為A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
S_△AOB=$\frac{1}{2}$$•a•\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴p是真命題；
直線l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0與x，y軸的交點分別為A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，a），
|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，
直線l與圓O：x²+y²=1的交點為C，D．d=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$，
|CD|=2$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$，|AB|²-|CD|²=${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}-4$≥0，
∴|AB|≥|CD|，
所以q假，
故選：C．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，考查直線與圓的位置關系的應用，直線的特征，考查轉化思想以及計算能力．