Question

13．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線與圓${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=1$相切，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根據雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離為圓的半徑求得a和b的關系，進而利用c²=a²+b²求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可求．

解答 解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓相切，
∴圓心到漸近線的距離為$\frac{|\sqrt{3}b-a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1或$\frac{|\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，求得$\sqrt{3}$a=b，
∴c²=a²+b²=4a²，
∴e=2．
故選：A．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式等．考查了學生數形結合的思想的運用．