Question

16．若函數$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}$的圖象上某一點處的切線過點（2，1），則切線的斜率為（　　）

• A． 0
• B． 0或$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 設切點為（m，n），（-1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的圖象為單位圓的上半圓，求得切線的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，進而得到所求切線的斜率．

解答 解：設切點為（m，n），（-1≤m≤1，n≥0），
由于函數$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}$的圖象為單位圓的上半圓，
可得切線的斜率為-$\frac{m}{n}$，
即有切線的方程為y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），
代入m²+n²=1，可得mx+ny=1，
代入（2，1），可得2m+n=1，
解得m=$\frac{4}{5}$，n=-$\frac{3}{5}$，（舍去）或m=0，n=1，
即為切線的斜率為-$\frac{m}{n}$=0．
故選：A．

點評 本題考查切線的斜率的求法，注意運用圓的切線的性質，以及兩直線垂直的條件和直線方程的運用，屬于中檔題．