Question

6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線l：y=$\frac{1}{3}$x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=2$\sqrt{10}$，則橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由離心率可得a，b的關系，聯立直線方程和橢圓方程，求出A，B的坐標，代入弦長公式求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，即a²=3b²．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9{b}^{2}}{4}$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），得${x}_{1}=-\frac{3}{2}b$，${x}_{2}=\frac{3}{2}b$．
∴AB=$\sqrt{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$|x₂-x₁|=$\frac{\sqrt{10}}{3}×3b=2\sqrt{10}$，解得b=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，訓練了弦長公式的應用，是基礎題．