Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點A（0，1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率為k的直線l與橢圓相交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=2，證明直線l過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：b=1，根據橢圓的離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得k₁+k₂=$\frac{2k}{n+1}$=2，即可求得n=k-1，則直線l的方程y=k（x+1）-1，直線l恒過定點（-1，-1）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：b=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則a²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設直線l的方程y=kx+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
∴△=（4kn）²-4（1+2k²）（2n²-2）＞0，則2k²-n²+1＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2kn}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{x}_{2}（{y}_{1}-1）+{x}_{1}（{y}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+n-1）+{x}_{1}（k{x}_{2}+n-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{2k×\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}-（n-1）×\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}}{\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$，
=$\frac{2k（2{n}^{2}-2）-4kn（n-1）}{2{n}^{2}-2}$，
=$\frac{2k（n-1）}{{n}^{2}-1}$，
當n=1時，直線y=kx+1，過定點（0，1），不符合題意，
若n≠1時，則k₁+k₂=$\frac{2k}{n+1}$=2，則n=k-1，
直線l的方程y=k（x+1）-1，
則直線l恒過定點（-1，-1）．
∴當k₁+k₂=2，證明直線l過定點（-1，-1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及離心率公式，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．