Question

12．已知球內接四棱錐P-ABCD的高為3，AC，BC相交于O，球的表面積為$\frac{169π}{9}$，若E為PC中點．
（1）求證：OE∥平面PAD；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由O，E分別是CA，CP的中點，得OE∥AP，即可得OE∥平面PAD．
（2）由球的表面積公式S=4πR²，得球的半徑$R=\frac{13}{6}$，設球心為O₁，在正四棱錐P-ABCD中，高為PO，則O₁必在PO上，連AO₁，在Rt△O₁OA，可得OA=2，設OA，OB，OP為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz系，得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），PC中點$E（-1，0，\frac{3}{2}）$，利用向量法求解．

解答 解：（1）證明：由O，E分別是CA，CP的中點，得OE∥AP，
且滿足OE?平面PAD，AP?平面PAD，所以OE∥平面PAD．
（2）由球的表面積公式S=4πR²，得球的半徑$R=\frac{13}{6}$，
設球心為O₁，在正四棱錐P-ABCD中，高為PO，則O₁必在PO上，
連AO₁，則${O_1}O=\frac{5}{6}，A{O_1}=\frac{13}{6}$，
則在Rt△O₁OA，則$OO_1^2+O{A^2}={O_1}{A^2}$，即OA=2，
在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥平面ABCD于O，且AC⊥BD于O，
設OA，OB，OP為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz系，
得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），PC中點$E（-1，0，\frac{3}{2}）$，
所以$\overrightarrow{AB}=（-2，2，0），\overrightarrow{DE}=（-1，-2，\frac{3}{2}），\overrightarrow{DC}=（-2，-2，0）$，
設$\overrightarrow m=（a，b，c），\overrightarrow n=（x，y，z）$分別是平面ABE和平面CBE的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=-2a+2b=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=-a-2b+\frac{3}{2}c=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-2x-2y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=-x-2y+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，
可得$\overrightarrow m=（1，1，2），\overrightarrow n=（-3，3，2）$，則$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{4}{{\sqrt{6}•\sqrt{22}}}=\frac{{2\sqrt{33}}}{33}$，
由圖可知，二面角A-BE-C的大小為鈍角，
所以二面角A-BE-C的余弦值為$-\frac{{2\sqrt{33}}}{33}$．

點評 本題考查了球的組合體、空間線面位置關系，考查了向量法求二面角，屬于中檔題．