Question

3．已知一個平放的正三棱錐型容器的各棱長為6，其內有一小球O（不計重量），現從正三棱錐型容器的頂端向內注水，球慢慢上浮，若注入的水的體積是正三棱錐體積的$\frac{7}{8}$時，球與正三棱錐各側面均相切（與水面也相切），則球的表面積等于（　�。�

• A． π
• B． $\frac{3}{2}$π
• C． $\frac{4}{3}$π
• D． $\frac{7}{6}$π

Answer 1

分析 先求出沒有水的部分的體積，再求出棱長為3，可得小球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，沒有水的部分的體積是正三棱錐體積的$\frac{1}{8}$，
∵正三棱錐的各棱長均為6，
∴正三棱錐體積為$\frac{1}{3}$×9$\sqrt{3}$×$\sqrt{36-12}$=18$\sqrt{2}$，
沒有水的部分的體積是：$\frac{9}{4}$$\sqrt{2}$，
設其棱長為a，則 $\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴a=3，
設小球的半徑為r，則4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²r=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴球的表面積S=4π•$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{2}$π．
故選：B．

點評 本題考查球的表面積，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確求出半徑是關鍵．