Question

15．在△ABC中，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，當C角最大時，△ABC的面積是多少．

Answer 1

分析 由正弦定理可得a+$\sqrt{2}$b=2c，兩邊平方后，由余弦定理，基本不等式可求cosC≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，當且僅當a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b時等號成立，由余弦函數的圖象和性質可求C的最大值為$\frac{5π}{12}$，可求此時，b，a的值，由三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，
∴a+$\sqrt{2}$b=2c，可得：a²+2b²+2$\sqrt{2}$ab=4c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}+2{b}^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}}{2ab}$=$\frac{\frac{3{a}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$≥$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}ab-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，當且僅當a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b時等號成立，
又∵cosC在（0，π）上單調遞減，
∴C的最大值為$\frac{5π}{12}$，此時，b=3，a=$\sqrt{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，余弦函數的圖象和性質，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．