Question

15．函數y=$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接利用換元法，通過三角函數的有界性，轉化函數為二次函數，即可得出．

解答 解：由題意，設sinx+cosx=t，
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，
∴$-\sqrt{2}$≤t$≤\sqrt{2}$，且t≠0．
那么：sin2x=t²-1
函數y轉化為：f（t）=$\frac{1+{t}^{2}-1}{t}=t$，（$-\sqrt{2}$≤t$≤\sqrt{2}$，且t≠0）
∴f（t）的最大值為：$\sqrt{2}$，即函數y的最大值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數的有界性，二倍角的運用，考查轉化思想以及計算能力．