Question

16．已知函數f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-2，a∈R
（1）當a=8時，求函數f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a，使函數f（x）在（0，e²]上有最小值2？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當a=8時，f（x）=$\frac{8}{x}$+lnx-2，（x＞0），求導，f′（x）=-$\frac{8}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-8}{{x}^{2}}$（x＞0），令f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區間，令f′（x）＜0，求得函數的單調遞減區間；
（2）求導f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），當a≤0，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，e²]上單調遞增，無最小值；當a＞0，令f′（x）=0，得x=a，根據函數的單調性可知：若a＞e²，則函數f（x）在（0，e²]上的最小值f（x）_min=f（e²）=$\frac{a}{{e}^{2}}$+lne²-2=$\frac{a}{{e}^{2}}$，a=2e²，滿足a＞e²，符合題意；若0＜a≤e²，則函數f（x）在（0，e²]上的最小值f（x）_min=f（a）=$\frac{a}{a}$+lna-2=lna-1，解得：a=e³，不滿足0＜a≤e²，不符合題意，舍去．

解答 解：（1）當a=8時，f（x）=$\frac{8}{x}$+lnx-2，（x＞0），
∴f′（x）=-$\frac{8}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-8}{{x}^{2}}$（x＞0），
令f′（x）＞0，即$\frac{x-8}{{x}^{2}}$＞0，解得：x＞8，
令f′（x）＜0，即$\frac{x-8}{{x}^{2}}$＜0，解得：0＜x＜8，
∴f（x）的單調遞減區間為（0，8），單調遞增區間為（8，+∞）；…（4分）
（2）由f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-2，求導f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
（i）當a≤0，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，e²]上單調遞增，無最小值，不滿足題意．
（ii）當a＞0，令f′（x）=0，得x=a，
∴當f′（x）＞0時，x＞a，當f′（x）＜0時，x＜a，
∴f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
若a＞e²，則函數f（x）在（0，e²]上的最小值f（x）_min=f（e²）=$\frac{a}{{e}^{2}}$+lne²-2=$\frac{a}{{e}^{2}}$，
由$\frac{a}{{e}^{2}}$=2，解得：a=2e²，滿足a＞e²，符合題意；
若0＜a≤e²，則函數f（x）在（0，e²]上的最小值f（x）_min=f（a）=$\frac{a}{a}$+lna-2=lna-1，
由lna-1=2，解得：a=e³，不滿足0＜a≤e²，不符合題意，舍去．
綜上可知，存在實數a=2e²，使函數f（x）在（0，e²]上有最小值2．…（12分）

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性及最值，考查導數的運算，考查分類討論思想，屬于中檔題．