Question

4．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，滿足對任意的實數x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2）
• B． [$\frac{13}{4}$，2）
• C． [$\frac{13}{8}$，2）
• D． （-∞，$\frac{13}{8}$]

Answer 1

分析 由題意得到函數是一個減函數，由此列不等式組a-2＜0且（$\frac{1}{2}$）²-1≥2（a-2），求解不等式組得答案

解答 解：∵對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴函數是一個減函數，
由于函數f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{2（a-2）≤（\frac{1}{2}）^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a≤\frac{13}{8}}\end{array}\right.$，所以a$≤\frac{13}{8}$；
故選：D

點評 本題考查了函數單調性的性質，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組的解法，是中檔題